*** Primitives d'une fonction rationnelle (3)

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(I=~]1\,;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{-3x^2+6x-2}{(x-1)^2}\).

1. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(I\), on ait : \(f(x)=a+\dfrac{b}{(x-1)^2}\).
2. Calculer la dérivée de la fonction \(g\) définie sur \(I\) par \(g(x)=\dfrac{2x-3}{x-1}\).
3. En déduire les primitives de la fonction \(f\) sur \(I\).
4. Déterminer la primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \(I\) qui prend la valeur \(-1\) en \(\dfrac{1}{2}\).